Estudió en Londres, Berlín y Nueva York. Busch aprendió composición con John Ireland y Bernard van Dieren y piano con múltiples profesores, entre los que se cuentan Mabel Lander, Leonid Kreutzer, Wilhelm Backhaus y Egon Petri.
Su producción es reducida: sólo unos pocos puñados de obras orquestales, de cámara, para piano y canciones, escritas en el estilo de la Escuela Pastoral, aunque con una personalidad inconfundiblemente suya y, en sus piezas finales, empezó a incluir influencias de otros movimientos musicales del siglo XX.
Esto se debe a que al principio de su carrera intentó convertirse, primero, en un pianista de concierto, pero tuvo que abandonarlo porque no pudo controlar sus problemas de pánico escénico. Eso provocó que tardase mucho en empezar a producir sus propias composiciones. Sumen a lo anterior el que componer le resultase muy difícil a Busch y que careciese del talento para autopromocionarse y forjar las conexiones necesarias para ver su obra publicada. Todo empeoró con la Segunda Guerra Mundial, pues a Busch le cerraron muchas puertas por ser hijo de inmigrantes alemanes y porque se declaró objetor de consciencia.
Busch murió prematuramente: visitó a su hija recién nacida y tuvo que hacer el largo viaje de regreso a casa a pie en medio de nieve profunda (porque todos los medios de transporte fueron cancelados); esto provocó que sufriera de hipotermia y una hemorragia interna y que, por esas mismas condiciones, ningún doctor pudiese ir a ayudarlo. Murió precisamente en el momento en que empezaba a ser reconocido como compositor.
¿Cómo puedo empezar a conocer su música?: Con su concierto para piano (1937-9)…
…estas piezas de cámara:
…y estas canciones: